Выбор варианта зависит от контекста.
Верно: находиться (находится) в положении.
Правильно: с транспортным средством, находившИмся.
Правильно: ознакомить(ся) с документом под подпись или под расписку.
Это нармативные окончания форм причастия и существительного в предложном падеже. О склонении существительных и причастий см. в пособии Е. И. Литневской.
Сочетание в положении в кавычки не заключается.
Нет, правильно только на весу. В корне этого слова происходит чередование гласных: под ударением и в безударной позиции пишутся и буква е (вешать, вывесить), и буква и (виснуть, висюлька). Правило можно посмотреть здесь (см. правило 2).